Auflösung Aufgabe 25 "Funktion" :

hier die Lösung von Vera Böttcher:

f(x)=(5/2)x²-(27/2)x+113
daraus folgt für x=22 ist y=1026


mein Lösungsweg:
Ich habe mir die angegebenen Werte in ein Koordinatensystem eingezeichnet, um zu sehen, wie die Funktion verläuft. Es war eindeutig zu erkennen, dass es sich hierbei nicht um eine lineare Funktion mit f(x)=ax+b handelt, was sich natürlich auch schon aus den Werten ablesen lies. Vom Verlauf der Funktion habe ich auf eine Parabel mit f(x)=ax²+bx+c geschlossen und die verschiedenen Werte darin eingesetzt:
f(2)=4a+2b+c=96
f(6)=36a+6b+c=122
f(12)=144a+12b+c=311

Dann habe ich die Funktionen umgeformt, um ein Ergebnis zu erhalten:
4a+2b+c=96
--> a=24-(1/2)b-(1/4)c

in f(6)=36a+6b+c=122 eingesetzt:
--> 36(24-(1/2)b-(1/4)c)+6b+c=122
--> 864-18b-9c+6b+c=122
--> 742-12b-8c=0
--> c=(371/4)-(3/2)b

a=24-(1/2)b-(1/4)c in f(12)=144a+12b+c=311 eingesetzt:
--> 144(24-(1/2)b-(1/4)c)+12b+c=311
--> 3456-72b-36c+12b+c=311
--> 3145-60b-35c=0
--> c=(629/7)-(12/7)b

die zwei Werte für c gleichgesetzt:
--> (371/4)-(3/2)b = (629/7)-(12/7)b
--> -(81/28)=(6/28)b
--> b=-(27/2) bzw. b=-13,5

den Wert für b eingesetzt in c=(371/4)-(3/2)b:
--> c=(371/4)-(3/2)*(-27/2)
--> c=113

die Werte für b und c eingesetzt in a=24-(1/2)b-(1/4)c:
--> a=24-(1/2)*(-27/2)-(1/4)*113
--> a=(5/2) bzw. a=2,5

daraus ergibt sich die Funktion:
f(x)=(5/2)x²-(27/2)x+113 bzw. f(x)=2,5x²-13,5x+113

eine Probe mit den in der Aufgabe angegebenen Werten durchgeführt und zum richtigen Ergebnis gekommen.
Bsp. mit x=12:
f(12)=(5/2)*12²-(27/2)*12+113
--> f(12)=360-162+113=311

Nun den noch fehlenden Wert für x=22 errechnet:
f(22)=(5/2)*22²-(27/2)*22+113
--> f(22)=1210-297+113=1026




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