Auflösung Aufgabe 8 "jetzt gehts rund" :

Also, mit einer Wägung kann man 3 (3 hoch 1) mögliche Ergebnisse (Stellungen der Waage) haben. Mit zwei Wägungen schon 9 (3 hoch 2) mögliche Ergebnisse. Mit vier Wägungen kann man 81 (3 hoch 4) mögliche Ergebnisse haben. Als ein mögliches Ergebnis verstehe ich z.B: "1.Wägung:links schwerer, 2.Wägung:gleich, 3.Wägung:links schwerer, 4.Wägung:rechts schwerer". Kurz: links-links-gleich-rechts.
Wenn bekannt wäre, ob "die eine" Kugel schwerer oder leichter wäre, dann ließe sich bei optimaler Anordnung der Kugeln auf der Waage (je 27 auf jeder Waagschale) jedem der 81 mögliche Zustände eine Kugel zuordnen. Dann wäre das Ergebnis 80!
Beispiel:
Ergebnis: links-links-links-links: Kugel 1,
Ergebnis: links-links-links-gleich: Kugel 2,
Ergebnis: links-links-links-rechts: Kugel 3...
bis ...
Ergebnis: rechts-rechs-rechts-rechts: Kugel 81.

Es gibt bei jeder Wägung 3 Gruppen von (je 27x) Kugeln : "Waagschale 1", "Waagschale 2" und "nicht mit gewogen". Es dürfen nie zwei Kugel bei allen(!) Wägungen in der gleichen Gruppe sein (sonst ließe sich anhand der Stellung der Waagschalen nicht auf die "eine" Kugel schließen)
Da wir nun aber nicht wissen, ob "die eine" Kugel schwerer oder leichter ist, kann man bei o.g. Vorgehen zwischen z.B.: links-links-links-links und rechts-rechts-rechts-rechts nicht unterscheiden. Es könnte sowohl die eine als auch die andere sein. Genauer gesagt, teilen sich die 81 Möglichkeiten auf in
40 verschiedene Ergebnisse,
40 Spiegelungen der o.g. Ergebnisse,
1 Ergebnisse ohne Spiegelbild, nämlich genau die Variante: gleich-gleich-gleich-gleich.
D.h. wenn wir 40 Ergebnisse bzw. die Kugeln dazu weglassen würden, hätten wir immer eine eindeutiges Bild.
Das Problem ist nur, dass 41 (81-40) nicht durch 3 teilbar ist, d.h. wir hätte z.B. auf der Waagschale 1 13 Kugeln und auf der Waagschale 2 14 Kugeln. Mit einer elektronischen Waage, die das Gewicht beider Waagschalen präzise anzeigt, wäre das sogar lösbar. Aber so war die Aufgabe nicht formuliert.
Also müssen wir, um auf beiden Seiten der Waage die gleiche Anzahl an Kugeln zu haben, eine Kugel opfern. (Dass genau eine Kugel zu opfern ist, um die gleiche Anzahl an Kugeln zu haben, ist übrigens bei jeder Anzahl an Wägungen so).
D.h. 81-40-1 es dürfen maximal 40 Kugeln sein um "die eine" heraus finden. bzw. aus 39 gleichen Kugeln lässt sich die eine herausfinden.

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